在探讨成吉思汗及其后继者对欧亚文化交流的影响时，我们需要回顾13世纪至14世纪初的历史背景。这一时期，蒙古帝国的崛起和扩张不仅改变了政治版图，也对经济和文化交流产生了深远影响。

首先，成吉思汗和他的继承人通过军事征服将庞大的领土纳入帝国统治之下，这些地区包括现在的中国东部和中西南部、日本西部、马来西亚西部、加拿大东部及美国东部东部巴哈马东部、东欧至中欧西部及小亚细亚西部、以及中国西部至地中海东部西部及巴哈马东部西部。这种地理上的统一为东西方之间的贸易路线提供了安全保障，从而促进了丝绸之路的发展。

其次，蒙古统治者在他们的领地上实施了相对开放的政策，允许不同民族和信仰的人们自由往来。这导致了知识和文化的广泛传播，例如中国的四大发明（火药、指南针、造纸术和印刷术）在这一时期传到了西方世界。同时，西方的医学知识、天文学和其他科学成果也向东传播，丰富了东方文明的内涵。

此外，随着蒙古人的征战和迁徙，许多工匠和技术专家也被带到不同的地方，他们在新的环境中继续自己的工作和教学活动。这有助于技术的创新和发展，同时也带来了艺术风格和生活方式的多样化。例如，波斯绘画就受到了来自中国的影响，而中国的建筑技术则在西亚得到了应用。

最后，我们不能忽视的是，虽然成吉思汗及其后继者的确在一定程度上推动了欧亚大陆的文化交流，但这个过程并非完全和平与平等。战争和征服带来的破坏也是巨大的，而且文化互动往往伴随着文化和宗教冲突。然而，总体来说，蒙古时期的跨文化交流对于促进人类文明的多样性和发展是具有积极意义的。

综上所述，成吉思汗和他领导的蒙古帝国确实在一定程度上加速了欧亚大陆的文化交流，尽管这一过程并不完美，但它对后来的全球化和多元文化社会有着不可磨灭的影响。